Diario delle lezioni 2024-25

• Lezione 1 (23 sett. 24). Introduzione al corso. Ripasso di alcuni argomenti già incontrati in algebra 1: relazioni di equivalenza, gruppi, sottogruppi, sottogruppi normali, omomorfismi, nucleo di un omomorfismo, gruppo quoziente.
• Lezione 2 (25 sett. 24). Ancora richiami: teorema di Lagrange, teoremi di omomorfismo. Ordine di un elemento. Gruppi ciclici. Il gruppo delle radici ennesime dell'unità.
• Lezione 3 (30 sett. 24). Ancora sui gruppi ciclici. Anelli. Ideali, omomorfismi in anelli, anelli quoziente. Esempi: ideali di Z. Gli anelli Z_n. Elementi divisori dello zero ed elementi invertibili in un anello.
• Lezione 4 (30 sett. 24). (1 ora). Discussione esercizi.
• Lezione 5 (2 ott. 24). Elementi associati in un anello. Domini d'integrità, elementi primi e irriducibili in un dominio d'integrità ideali primi e ideali massimali in un anello. Definizione di massimo comun divisore in un dominio d'integrità. Richiamo sull'algoritmo di Euclide per il calcolo del MCD e identità di Bezout.
• Lezione 6 (7 ott. 24). Congruenze. Gruppo delle unità di Z_m. La funzione di Eulero, il teorema di Eulero e il piccolo teorema di Fermat. Applicazioni. Calcolo delle potenze di un numero intero modulo un numero m. Test di primalità con il piccolo teorema di Fermat. Altri esempi.
• Lezione 7 (7 ott. 24). (1 ora). Discussione esercizi.
• Lezione 8 (9 ott. 24). Ancora esempi piccolo Teorema Fermat. Teorema cinese dei resti. Esempi. Sue conseguenze. Formulazione con gli anelli Z_m. Prime considerazioni sui gruppi finiti.
• Lezione 9 (14 ott. 24). Problema dell'inversione del teorema di Lagrange. Nei gruppoi ciclici e più in generale, nei gruppi abeliani finiti si può invertire il teorema di Lagrange.
• Lezione 10 (14 ott. 24). (1 ora). Discussione esercizi.
• Lezione 11 (7 ott. 24). Nozione di p-gruppo, di p-sottogruppo e di p-sottogruppo di Sylow. I teoremi di sylow ed esempi.
• Lezione 12 (21 ott. 24). Anello dei polinomi. Grado di un polinomio, coefficiente direttivo, coefficiente direttivo del prodotto di due polinomi. Divisione tra polinomi. Unicità del resto e del quoziente (nell'ipotesi che il coefficiente direttivo del divisore sia invertibile).
• Lezione 13 (21 ott. 24). (1 ora). Discussione esercizi.
• Lezione 14 (23 ott. 24). Massimo comun divisore tra polinomi. Algoritmo di Euclide. Il teorema di Ruffini, il teorema di D'Alambert. Discussione esercizi.
• Lezione 15 (28 ott. 24). L'anello dei polinomi a coefficienti in un campo è un dominio ad ideali principali. In Z e in e in K[x] irriducibile = primo. Definizione di dominio a fattorizzazione unica (UFD). L'anello degli interi è un dominio a fattrizzazione unica.
• Lezione 16 (28 ott. 24). (1 ora). Discussione esercizi.
• Lezione 17 (29 ott. 24). Ancora sul fatto che Z è UFD. Elementi invertibili in K[x]. Elementi irriducibili in C[x] (sono solo i polinomi di grado 1). Elementi irriducibili in R[x] (sono solo i polinomi di grado 1 e i polinomi di grado 2 con discriminante negativo).
  Discussione esercizi.
• Lezione 18 (30 ott. 24). Polinomi in Q[x]. Polinomio primitivo. Il prodotto di polinomi primitivi è primitivo. Lemma di Gauss. Un polinomio di grado almeno 1 primitivo &egave; irriducibile in Z[x] se e solo se lo è in Q[x]. Inizio della dimostrazione del fatto che Z[x] è un UFD.
• Lezione 19 (4 nov. 24). Z[x] è un UFD. Fattorizzare in Q[x]. Prime considerazioni. Come trovare se un polinomio di Q[x] ha fattori lineari.
• Lezione 20 (4 nov. 24). (1 ora) Correzione esercizi.
• Lezione 21 (5 nov. 24). Il criterio di Eisenstein. Esempi di infiniti polinomi irriducibili di grado n in Q[x] e in Z[x]. La caratteristica di un anello. Esempi. I domini hanno caratteristica zero o un numero primo p.
• Lezione 22 (6 nov. 24). Omomorfismo di Frobenius. Campi perfetti. Ogni campo finito è perfetto. Il derivato di un polinomio. Proprietà del derivato. Polinomi con derivato nullo: o sono costanti (se la caratteristica del campo dei coefficienti è zero) o sono potenze p-ime di un altro polinomio (se il campo dei coefficienti è un campo perfetto di di caratteristica p). Uso del massimo comun divisore tra un polinomio e il suo derivato per scoprire se il poinomio ha fattori multipli.
• Lezione 23 (11 nov. 24) Congruenze tra polinomi di K[x]. L'anello quoziente K[x]/I. Esempi. Il teorema cinese dei resti per l'anello dei polinomi in una variabile.
• Lezione 24 (11 nov. 24) (1 ora) Correzione esercizi.
• Lezione 25 (13 nov. 24) Dati n elementi di un campo K a due a due distinti e dati altri n elementi di K, esiste un unico polinomio di grado minore di n tale che, valutato nei primi elementi di K dà i secondi elementi. Primo teorema di Berlekamp. Costruzione della matrice Q.
• Lezione 26 (18 nov. 24) Dimostrazione del secondo teorema di Berlekamp. Esempi.
• Lezione 27 (18 nov. 24) (1 ora) Correzione esercizi
• Lezione 28 (20 nov. 24) Il terzo teorema di Berlekamp. Alcuni esempi.
• Lezione 29 (25 nov. 24) Il metodo di Kroneker per la fattorizzazione di polinomi a coefficienti interi. Alcuni cenni al programma di calcolo simbolico Sage.
• Lezione 30 (25 nov. 24) (1 ora) Correzione esercizi.
• Lezione 31 (27 nov. 24) Polinomi in più variabili. Costruzione e notazioni, grado globale, grado nelle singole variabili. L'anello dei polinomi (in un numero qualunque di variabili) con coefficienti in un campo è un UFD ma, se le variabili sono più di una, non è un PID. Esempio di ideale che non può essere principale.
• Lezione 32 (2 dic. 24) Teorema di estensione per polinomi in un numero arbitrario di variabili. Ideali in K[x₁, ..., x_n]. Esempi di ideali massimali in tale anello. Dato un anello A sottoanello di un anello B. Definizione e caratterizzazione del più piccolo anello contenuto in B che contiene A un numero fissato di elementi di B.
• Lezione 33 (2 dic. 24) (1 ora) Correzione esercizi.
• Lezione 34 (4 dic. 24) Estensione di campi. In un'estensone di campi il campo più grande è uno spazio vettoriale sul più piccolo. Grado di un'estensione. Elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo. Unicità e irriducibilità del polinomio minimo. L'anello K[a], con a algebrico su K è un campo ed è isomorfo all'anello dei polinomi quozientato sull'ideale generato dal polinomio minimo. Il grado K[a]:K] è uguale al grado del polinomio minimo di a su K. Esempi.
• Lezione 35 (9 dic. 24) Irriducibilità del polinomio minimo. Teorema della torre. Campo di riducibilità completa (o di spezzamento) di un polinomio. Prime proprietà dei campi finiti: sono estensioni di Z_p (con p primo). Un campo finito ha pⁿ elementi.
• Lezione 36 (9 dic. 24) (1 ora) Correzione esercizi.
• Lezione 37 (11 dic. 24) Il teorema dell'elemento primitivo (senza dimostrazione). Conseguenze: Ogni campo finito è un quoziente di Z_p[x]. Per ogni p e per ogni n c'è un campo finito con pⁿ elementi. Tutti i campi finiti con lo stesso numero di elementi sono isomorfi.