\documentclass[a4paper]{article}


%%% Provare, uno alla volta, le seguenti variazioni di 
%%% \documentclass.

%%% \documentclass[a4paper]{book}
%%% \documentclass[a4paper]{article} %% con questa classe non si puo'
                                     %% usare \chapter
%%% \documentclass[12pt, a4paper]{report}
%%% \documentclass[a4paper, twoculumn]{book}
%%% \documentclass{report}


\usepackage[italian]{babel}


\begin{document}


\section{Accenti}
In \LaTeX\ le lettere accentate si scrivono con opportuni comandi: 
\medskip

\begin{tabular}{|c|c|} \hline
Carattere & Comando \\ \hline
\`a  & \verb+\`a+   \\
\`e  & \verb+\`e+   \\
\'e  & \verb+\'e+   \\
\`o  & \verb+\`o+   \\
\`u  & \verb+\`u+   \\
\`\i & \verb+\`\i+  \\ \hline
\end{tabular}

\medskip
\noindent
Ovviamente quelli sopra sono solo (i principali) esempi. Se si 
dovesse ad esempio scrivere ``\`w'' il comando da usare sarebbe: 
\verb+\`w+. Si noti poi che ``\`\i'' si scrive in modo leggermente 
differente: \verb+\`\i+. Se dopo dopo la ``\`\i''
c'\`e uno spazio, esso va esplicitato con il comando \verb*+\ +). 

Se nel preambolo del file si inserisce l'istruzione: \\
\verb+\usepackage[latin1]{inputenc}+\\
allora si possono usare i caratteri accentati della tastiera
(ma con prudenza\dots).

\medskip
Altri caratteri speciali:

\medskip

\begin{tabular}{|c|c|} \hline
Carattere & Comando \\ \hline
\"o  & \verb+\"o+   \\
\~o  & \verb+\~o+   \\
\v{o}  & \verb+\v{o}+   \\
\c{o}  & \verb+\c{o}+   \\ \hline
\end{tabular}

\section{Formule matematiche}

\begin{tabular}{|c|c|} \hline
Formula & sequenza istruzioni \\ \hline
$x^2+y^3=z^4$ & \verb9$x^2+y^3=z^4$9\\ 
$x_1 + x_2$ & \verb9$x_1 + x_2$9 \\
$a_2^3$ & \verb9$a_2^3$9 \\
$a_{11} + b^{3y}$ & \verb9$a_{11} + b^{3y}$9 \\
$x^{2^y}$ & \verb9$x^{2^y}$9 \\
$F_{ij}^2$ & \verb9$F_{ij}^2$9 \\
$2/3x $ & \verb9$2/3x$9 \\
$\frac{2}{3}x$ &   \verb9$\frac{2}{3}x$9 \\ \hline
\end{tabular}

\bigskip
Le precedenti formule potevano essere, equivalentemente, scritte
con:\\
\verb+\begin{math}+ (o \verb+\(+) al posto del primo \verb+$+ e 
\verb+\end{math}+ (o \verb+\)+) al posto del secondo \verb+$+. 
Se invece si racchiudevano tra \verb+\[+ e \verb+\]+ (o tra 
\verb+\begin{displaymath}+ e \verb+\end{displaymath}+) venivano
scritte centrate nella pagina. 

\bigskip
Di seguito saranno scritte varie formule e subito sotto sar\`a
riportato l'input.
\begin{itemize}
\item Frazioni:
\[
\frac{x+1}{y+3} + \frac{1}{y+3} -3\frac{1}{x+1}
\]
e questo \`e l'input:
\begin{verbatim}
\[
\frac{x+1}{y+3} + \frac{1}{y+3} -3\frac{1}{x+1}
\]
\end{verbatim}
\item Radici:
\[
\sqrt{x^2+y^2} + \sqrt[4]{a^3+4a_2b}
\]
e questo \`e l'input: 
\begin{verbatim}
\[
\sqrt{x^2+y^2} + \sqrt[4]{a^3+4a_2b}
\]
\end{verbatim}
\item Ancora radici: 
\[
x_{12} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\]
e questo \`e l'input: 
\begin{verbatim}
\[
x_{12} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\]
\end{verbatim}
\item ellipsi
\[
x_1^2+\cdots+x_n^2 \in K[x_1, \dots, x_n]
\]
e questo \`e l'input: 
\begin{verbatim}
\[
x_1^2 + \cdots + x_n^2 \in K[x_1, \dots, x_n]
\]
\end{verbatim}
\item Lettere calligrafiche:
\[
\mathcal{F}(x) < \mathcal{G}_2(x)
\]
e questo \`e l'input: 
\begin{verbatim}
\[
\mathcal{F}(x) < \mathcal{G}_2(x)
\]
\end{verbatim}
\item lettere greche minuscole
\[
\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \varepsilon, \zeta, \dots
\]
e questo \`e l'input: 
\begin{verbatim}
\[
\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, 
\varepsilon, \zeta, \dots
\]
\end{verbatim}
\item e lettere greche maiuscole
\[
\Gamma, \Delta, \Theta, \Lambda, \Xi, \Pi, \Sigma, \Upsilon, 
\Phi, \Psi, \Omega.
\]
e questo \`e l'input: 
\begin{verbatim}
\[
\Gamma, \Delta, \Theta, \Lambda, \Xi, \Pi, \Sigma, \Upsilon, 
\Phi, \Psi, \Omega.
\]
\end{verbatim}

\end{itemize}

Alcuni simboli utili---sono utilizzabili solo in modalit\`a 
matematica (per una lista completa, consultare un manuale):
\bigskip

\begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c|} \hline
simbolo & comando & simbolo & comando & simbolo & comando \\ \hline
$\pm$ & \verb+\pm+& $\times$  & \verb+\times+& $\cap$ & \verb+\cap+ \\        
$\cup$ & \verb+\cup+& $\vee$ & \verb+\vee+& $\wedge$& \verb+\wedge+ \\
$\setminus$& \verb+\setminus+& $\oplus$& 
                           \verb+\oplus+&$\otimes$&\verb+\otimes+ \\ \hline
$\leq$ & \verb+\leq+&$\prec$& \verb+\prec+& $\preceq$& \verb+\preceq+ \\  
$\subset$ & \verb+\subset+& $\subseteq$
                               & \verb+\subseteq+&$\in$ & \verb+\in+ \\
$\geq$ & \verb+\geq+&$\succ$ & \verb+\succ+& $\succeq$& \verb+\succeq+ \\ 
$\supset$& \verb+\supset+& $\supseteq$ 
               & \verb+\supseteq+&$\equiv$& \verb+\equiv+ \\ 
$\sim$ & \verb+\sim+&$\simeq$& \verb+\simeq+
               &$\approx$& \verb+\approx+ \\ 
$\cong$& \verb+\cong+&$\neq$ & \verb+\neq+&$\notin$& \verb+\notin+ \\
$\mid$ & \verb+\mid+& $\parallel$
         & \verb+\parallel+& $\propto$& \verb+\propto+ \\ \hline 
$\aleph$ & \verb+\aleph+ & $\ell$ & \verb+\ell+ & $\Re$ & \verb+\Re+ \\
$\Im$ & \verb+\Im+ & $\emptyset$ 
           & \verb+\emptyset+ & $\nabla$ & \verb+\nabla+ \\
$\forall$ & \verb+\forall+ & $\exists$ & \verb+\exists+ 
          & $\partial$ & \verb+\partial+ \\
$\infty$ & \verb+\infty+ & $\neg$ & \verb+\neg+ & $\|$ & \verb+\|+ \\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

Frecce:

\medskip
\begin{tabular}{|c|c||c|c|} \hline
simbolo & comando & simbolo & comando\\ \hline
$\leftarrow$ & \verb+\leftarrow+ & $\longleftarrow$ 
         &\verb+\longleftarrow+ \\
$\uparrow$ & \verb+\uparrow+ & $\Leftarrow$ & \verb+\Leftarrow+ \\
$\Longleftarrow$ & \verb+\Longleftarrow+ & $\Uparrow$ & \verb+\Uparrow+ \\
$\rightarrow$ & \verb+\rightarrow+ & $\longrightarrow$ 
       & \verb+\longrightarrow+ \\ 
$\downarrow$ & \verb+\downarrow+ & $\Rightarrow$ & \verb+\Rightarrow+ \\
$\Longrightarrow$ & \verb+\Longrightarrow+ & $\Downarrow$ 
       & \verb+\Downarrow+ \\
$\leftrightarrow$ & \verb+\leftrightarrow+ & $\longleftrightarrow$ 
    & \verb+\longleftrightarrow+ \\
$\updownarrow$ & \verb+\updownarrow+ & $\Leftrightarrow$ 
     & \verb+\Leftrightarrow+ \\
 $\Longleftrightarrow$ & \verb+\Longleftrightarrow+ 
       & $\Updownarrow$ & \verb+\Updownarrow+ \\
$\mapsto$ & \verb+\mapsto+ & $\longmapsto$ 
       & \verb+\longmapsto+ \\ \hline
\end{tabular}

\bigskip
Simboli di dimensione variabile: 

\medskip
\begin{tabular}{|c|c||c|c|} \hline
simbolo & comando & simbolo & comando \\ \hline
$ \sum\quad {\displaystyle \sum}$ & \verb+\sum+ 
    & $\prod \quad{\displaystyle \prod}$ & \verb+\prod+ \\
$ \coprod\quad {\displaystyle \coprod}$ & \verb+\coprod+ 
    & $ \int\quad{\displaystyle \int}$ & \verb+\int+ \\
$ \oint\quad {\displaystyle \oint}$ & \verb+\oint+ 
    & $\bigcap \quad{\displaystyle \bigcap}$ & \verb+\bigcap+ \\
$ \bigcup\quad {\displaystyle \bigcup}$ & \verb+\bigcup+ 
    & $\bigvee \quad{\displaystyle \bigvee}$ & \verb+\bigvee+ \\
$ \bigwedge\quad {\displaystyle \bigwedge}$ & \verb+\bigwedge+ 
    & $ \bigotimes\quad{\displaystyle \bigotimes}$ & \verb+\bigotimes+ \\
$ \bigoplus\quad {\displaystyle \bigoplus}$ & \verb+\bigoplus+ 
    & $ \bigodot\quad{\displaystyle \bigodot}$ & \verb+\bigodot+ \\ \hline
\end{tabular}

\bigskip
L'ultima tabella indica simboli che sono scritti in dimensione diversa, 
a seconda se sono utilizzati in una formula che compare nel corso del 
testo o in un ambiente come \verb+displaymath+. \\
Esempio: \\
nel testo la sommatoria $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ \`e
scritta abbastanza piccola e non occupa molto spazio, mentre 
in ambiente \verb+displaymath+ \`e decisamente diversa: 
\[
\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}
\]
(si vede che anche la frazione viene scritta in modo diverso). \\
L'input in entrambi i casi \`e: 
\begin{verbatim}
\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}
\end{verbatim}
solo che nel primo caso la formula \`e racchiusa tra \verb+\(+
e \verb+\)+, mentre nel secondo caso, tra \verb+\[+ e \verb+\]+.

\bigskip
\noindent
\textbf{Funzioni elementari} Ecco alcune funzioni utili: 

\bigskip

\noindent
\begin{tabular}{|llllll|}\hline
\verb+\arcos+ & \verb+\arcsin+ &  \verb+\arctan+ &
\verb+\cos+ &  \verb+\sin+ &  \verb+\tan+ \\
\verb+\cosh+ &  \verb+\sinh+ &  \verb+\tanh+ &
\verb+\exp+ &  \verb+\lg+ &  \verb+ln+ \\
\verb+\log+ &  \verb+\dim+ &  \verb+\det+ &
\verb+\max+ &  \verb+\min+ &  \verb+\limsup+ \\
\verb+\liminf+ &  \verb+\lim+ &  \verb+\gcd+ &
\verb+\lcm+ &  \verb+\hom+ &  \verb+\arg+ \\ \hline
\end{tabular}
\bigskip

\noindent
\textbf{Esempi:} 

\bigskip
\noindent
\begin{tabular}{|c|c|} \hline
Formula & Scrittura \\ \hline
$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$  & 
\verb5\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 15 \\
$\gcd(a, b) = c$ & \verb+\gcd(a, b) = c+\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty} n^2 = +\infty$ & 
\verb7\lim_{n\rightarrow +\infty} n^2 = +\infty7\\ \hline
\end{tabular}
\bigskip

\noindent
Si noti che in ambiente \verb+displaymath+ \LaTeX\ scrive i 
limiti in modo diverso:
\[
\lim_{n\rightarrow +\infty} n^2 = +\infty; \quad 
\lim_{n\rightarrow +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e
\]
La precedene riga \`e ottenuta con: 
\begin{verbatim}
\[
\lim_{n\rightarrow +\infty} n^2 = +\infty; \quad 
\lim_{n\rightarrow +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e
\]
\end{verbatim}
(il comando \verb+\quad+ serve per lasciare un po' di spazio in orizzontale). 

\end{document}