\documentclass[draft, twoside]{article}

\usepackage[italian]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{textcomp}


\pagestyle{myheadings}
\markboth{\textsc{Comandi \LaTeX\ (v. pagina precedente)}}%
{\textsc{Documento risultante}}

\begin{document}

\section{L'ambiente \texttt{array}}  
L'ambiente \verb+array+ si pu\`o 
usare esclusivamente in modalit\`a matematica. Esempi: 
\[
\begin{array}{ccc}
x_1 & x_2 & x_3 \\
x_2 & x_3 & x_4 \\
x_3 & x_4 & x_5
\end{array}
\]

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\[
\begin{array}{crl}
123 & 1341234 & \sin(x)\\
2 & 2333 & \int x^x\, dx\\
4 & 34 & a\\
12345 & 1 & b 
\end{array}
\]

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\[
\begin{array}{rcl}
2x_1 + 4 x_2 -6x_3 & = & 10 \\
x_2+12x_3 & = & -15 \\
-x_1  -x_2 +8x_3 & =& 412
\end{array}
\]

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\[
\begin{array}{ccccl}
2x_1 & +4 x_2 & -6x_3 & = & 10 \\
     & x_2  &+12x_3 & = & -15 \\
-x_1 & -x_2 & +8x_3 & =& 412
\end{array}
\]

\newpage
\begin{verbatim}
\section{L'ambiente \texttt{array}}  
L'ambiente \verb+array+ si pu\`o 
usare esclusivamente in modalit\`a matematica. Esempi: 
\[
\begin{array}{ccc}
x_1 & x_2 & x_3 \\
x_2 & x_3 & x_4 \\
x_3 & x_4 & x_5
\end{array}
\]

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\[
\begin{array}{crl}
123 & 1341234 & \sin(x)\\
2 & 2333 & \int x^x\, dx\\
4 & 34 & a\\
12345 & 1 & b 
\end{array}
\]

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\[
\begin{array}{rcl}
2x_1 + 4 x_2 -6x_3 & = & 10 \\
x_2+12x_3 & = & -15 \\
-x_1  -x_2 +8x_3 & =& 412
\end{array}
\]

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip
\[
\begin{array}{ccccl}
2x_1 & +4 x_2 & -6x_3 & = & 10 \\
     & x_2  &+12x_3 & = & -15 \\
-x_1 & -x_2 & +8x_3 & =& 412
\end{array}
\]
\end{verbatim}

\newpage

\noindent
Ancora esempi:
\[
\begin{array}{rrrrr}
2x_1 & +4 x_2 & -6x_3 & = & 10 \\
     & x_2  &+12x_3 & = & -15 \\
-x_1 & -x_2 & +8x_3 & =& 412
\end{array}
\]

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\begin{equation}
\begin{array}{rcrcrcr}
2x_1 & + & 4 x_2 & - & 6x_3 & = & 10 \\
     &  & x_2  &+ & 12x_3 & = & -15 \\
-x_1 & - &x_2 & +& 8x_3 & =& 412
\end{array}
\end{equation}

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\[
\begin{array}{|rcrcrcr|}\hline
2x_1 & + & 4 x_2 & - & 6x_3 & = & 10 \\
     &  & x_2  &+ & 12x_3 & = & -15 \\
-x_1 & - &x_2 & +& 8x_3 & =& 412 \\ \hline
\end{array}
\]

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

Un array pu\`o essere ustato anche nell'ambito di un testo, 
come nel seguente caso: Sia 
$\begin{array}{|c|}\hline 
a \\ \hline 
b \\ \hline
\end{array}$ 
una tabella di Yung\dots, ma situazioni di questo tipo sono 
poco frequenti.

\newpage

\begin{verbatim}
\noindent
Ancora esempi:
\[
\begin{array}{rrrrr}
2x_1 & +4 x_2 & -6x_3 & = & 10 \\
     & x_2  &+12x_3 & = & -15 \\
-x_1 & -x_2 & +8x_3 & =& 412
\end{array}
\]

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\begin{equation}
\begin{array}{rcrcrcr}
2x_1 & + & 4 x_2 & - & 6x_3 & = & 10 \\
     &  & x_2  &+ & 12x_3 & = & -15 \\
-x_1 & - &x_2 & +& 8x_3 & =& 412
\end{array}
\end{equation}

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\[
\begin{array}{|rcrcrcr|}\hline
2x_1 & + & 4 x_2 & - & 6x_3 & = & 10 \\
     &  & x_2  &+ & 12x_3 & = & -15 \\
-x_1 & - &x_2 & +& 8x_3 & =& 412 \\ \hline
\end{array}
\]

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

Un array pu\`o essere ustato anche nell'ambito di un testo, 
come nel seguente caso: Sia 
$\begin{array}{|c|}\hline 
a \\ \hline 
b \\ \hline
\end{array}$ 
una tabella di Yung\dots, ma situazioni di questo tipo sono 
poco frequenti.
\end{verbatim}
\newpage


\section{Delimitatori}  Sono simboli che si comportano 
come le parentesi: una coppia di delimitatori racchiude 
un'espressione e si adattano alle dimensioni dell'espressione. 
Si usano i comnadi \verb+\left+ e \verb+\right+. Esempi:
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
l & m & n
\end{array}
\right)
\qquad
\left[
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
l & m & n
\end{array}
\right]
\qquad
\left\|
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
l & m & n
\end{array}
\right\|
\]

\newpage
\begin{verbatim}
\section{Delimitatori}  Sono simboli che si comportano 
come le parentesi: una coppia di delimitatori racchiude 
un'espressione e si adattano alle dimensioni dell'espressione. 
Si usano i comnadi \verb+\left+ e \verb+\right+. Esempi:
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
l & m & n
\end{array}
\right)
\qquad
\left[
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
l & m & n
\end{array}
\right]
\qquad
\left\|
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
l & m & n
\end{array}
\right\|
\]
\end{verbatim}
\newpage
\noindent
Altri 5 esempi:
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ l & m & n
\end{array}
\right|
\qquad
\left\{
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ l & m & n
\end{array}
\right\}
\qquad
\left\{
\begin{array}{ccc} 
a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ l & m & n
\end{array}
\right.
\]

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\[
\left\langle
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ l & m & n
\end{array}
\right\rangle
\qquad
\left\uparrow
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
l & m & n
\end{array}
\right\}
\]

\newpage

\begin{verbatim}
\noindent
Altri 5 esempi:
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ l & m & n
\end{array}
\right|
\qquad
\left\{
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ l & m & n
\end{array}
\right\}
\qquad
\left\{
\begin{array}{ccc} 
a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ l & m & n
\end{array}
\right.
\]

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\[
\left\langle
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ l & m & n
\end{array}
\right\rangle
\qquad
\left\uparrow
\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
l & m & n
\end{array}
\right\}
\]
\end{verbatim}
\newpage

\noindent
\dots e ancora qualche esempio:
\[
\left(
  \begin{array}{ccc}
    \left|
      \begin{array}{cc}
        1 & 2 \\
        3 & 4
      \end{array}
    \right| & 3 & 4 \\
    d & e & f \\
    g & h & i \\
    l & m & n
  \end{array}
\right)
\]

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\[
|x| := 
\left\{
  \begin{array}{ll}
    x & \mbox{se $x\geq 0$} \\
    -x & \mbox{se $x < 0$}
  \end{array}
\right.
\]
\[
f(x,y) := 
\left\{
  \begin{array}{ll}
    x^2+2xy & \mbox{se $x+2y > 0$} \\
    -x-\cos(xy) & \mbox{se $x+2y = 0$} \\
    0 & \mbox{altrimenti}
  \end{array}
\right.
\]

\newpage

\begin{verbatim}
\noindent
\dots e ancora qualche esempio:
\[
\left(
  \begin{array}{ccc}
    \left|
      \begin{array}{cc}
        1 & 2 \\
        3 & 4
      \end{array}
    \right| & 3 & 4 \\
    d & e & f \\
    g & h & i \\
    l & m & n
  \end{array}
\right)
\]

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\[
|x| := 
\left\{
  \begin{array}{ll}
    x & \mbox{se $x\geq 0$} \\
    -x & \mbox{se $x < 0$}
  \end{array}
\right.
\]
\[
f(x,y) := 
\left\{
  \begin{array}{ll}
    x^2+2xy & \mbox{se $x+2y > 0$} \\
    -x-\cos(xy) & \mbox{se $x+2y = 0$} \\
    0 & \mbox{altrimenti}
  \end{array}
\right.
\]
\end{verbatim}
\newpage

\section{Formule su pi\`u righe}
Gli ambienti \verb+displaymath+ e \verb+equation+ consentono di 
scrivere una formula su una sola riga. Per scrivere formule su pi\`u
righe si usano gli ambienti \verb+eqnarray+ e \verb+eqnarray*+.
Al pari di \verb+displaymath+ e \verb+equation+, anche gli 
ambienti \verb+eqnarray+ e \verb+eqnarray*+ prevedono che al 
loro interno il testo sia in modalit\`a matematica.  Esempi:
\begin{eqnarray}
x   & =    & y+2   \\
z   & \geq & x+y+3 \\
t   & <    & 4x+z
\end{eqnarray}

Per eliminare alcune numerazioni:
\begin{eqnarray}
x & =    & y+2   \nonumber \\
z & \geq & x+y+3 \\
t & <    & 4x+z  \nonumber
\end{eqnarray}

Per non avere proprio la numerazione, si usa \verb+eqnarray*+:

\begin{eqnarray*}
x & =    & y+2   \\
z & \geq & x+y+3 \\
t & <    & 4x+z
\end{eqnarray*}

\newpage
\begin{verbatim}
\section{Formule su pi\`u righe}
Gli ambienti \verb+displaymath+ e \verb+equation+ consentono di 
scrivere una formula su una sola riga. Per scrivere formule 
su pi\`u righe si usano gli ambienti \verb+eqnarray+ e 
\verb+eqnarray*+.
Al pari di \verb+displaymath+ e \verb+equation+, anche gli 
ambienti \verb+eqnarray+ e \verb+eqnarray*+ prevedono che al 
loro interno il testo sia in modalit\`a matematica.  Esempi:
\begin{eqnarray}
x   & =    & y+2   \\
z   & \geq & x+y+3 \\
t   & <    & 4x+z
\end{eqnarray}

Per eliminare alcune numerazioni:
\begin{eqnarray}
x & =    & y+2   \nonumber \\
z & \geq & x+y+3 \\
t & <    & 4x+z  \nonumber
\end{eqnarray}

Per non avere proprio la numerazione, si usa \verb+eqnarray*+:

\begin{eqnarray*}
x & =    & y+2   \\
z & \geq & x+y+3 \\
t & <    & 4x+z
\end{eqnarray*}
\end{verbatim}
\newpage

\noindent
Altri esempi:
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^n i & = & 1 + 2 + \cdots + n-1 + n \\
              & = & \frac{1}{2}\left[ (1 + 2 + \cdots + n-1 +n)+
                       (n+n-1 + \cdots + 2 + 1)
                       \right] \\
              & = & \frac{1}{2}\left[(1+n) +(2 + n-1) + \cdots 
                        +(n-1 + 2)+(n +1)
                        \right] \\
              & = & \frac{1}{2}n(n+1) \\
              & = & \frac{n(n+1)}{2}
\end{eqnarray*}

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\begin{eqnarray}
\int x^n \, dx & = & \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C \\
\int e^x \, dx & = & e^x + C \\
\int \sin(x) \, dx & = & - \cos(x) + C \\
\int \sqrt{x}\, dx & = & \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C \\
\frac{d\left(\tan(x)\right)}{dx}& = & 1+\tan^2(x) \\
                   & = & \frac{1}{\cos^2(x)} 
\end{eqnarray}
\newpage

\begin{verbatim}
\noindent
Altri esempi:
\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^n i & = & 1 + 2 + \cdots + n-1 + n \\
              & = & \frac{1}{2}\left[ (1 + 2 + \cdots + n-1 +n)+
                       (n+n-1 + \cdots + 2 + 1)
                       \right] \\
              & = & \frac{1}{2}\left[(1+n) +(2 + n-1) + \cdots 
                        +(n-1 + 2)+(n +1)
                        \right] \\
              & = & \frac{1}{2}n(n+1) \\
              & = & \frac{n(n+1)}{2}
\end{eqnarray*}

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\begin{eqnarray}
\int x^n \, dx & = & \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C \\
\int e^x \, dx & = & e^x + C \\
\int \sin(x) \, dx & = & - \cos(x) + C \\
\int \sqrt{x}\, dx & = & \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C \\
\frac{d\left(\tan(x)\right)}{dx}& = & 1+\tan^2(x) \\
                   & = & \frac{1}{\cos^2(x)} 
\end{eqnarray}
\end{verbatim}

\newpage

\begin{eqnarray*}
\dim_K(K[x_1, \dots x_n]_{\leq d}) 
                     & = & \dim_K\left(
                           \bigoplus_{\delta=0}^d 
                             K[x_1, \dots, x_n]_\delta \right) \\
                     & = & \sum_{\delta=0}^d \dim_K\left(
                              K[x_1, \dots, x_n]_\delta 
                           \right)\\
                     & = & \sum_{\delta=0}^d 
                             \left(
                                \begin{array}{c}
                                  n + \delta - 1 \\
                                  n - 1
                                \end{array}
                             \right)\\
                     & = & \left(
                             \begin{array}{c}
                             n+d \\
                             d
                             \end{array}
                           \right)
\end{eqnarray*}

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\begin{eqnarray}
\int_0^2 \sqrt{\frac{8-u}{u}}\, du 
            & = & \left[u\sqrt{\frac{8-u}{u}}
               \right]_0^2 - \int_0^2 u \frac{-4}{u^2 \sqrt{%
                \displaystyle \frac{8-u}{u}}}\, du \label{frm1}\\
            & = & 2\sqrt{3} + 4\int_0^2 
                \frac{1}{\sqrt{u(8-u)}}\, du \label{frm2}\\
            & = & 2 \sqrt{3} + 4 \int_{-4}^{-2}\frac{1}{\sqrt{%
                 16-v^2}}\, dv  \label{frm3} \\
            & = &  2 \sqrt{3} +  \int_{-1}^{-1/2}
                 \frac{4}{\sqrt{1-t^2}}\, dt  \label{frm4} \\
            & = &  2 \sqrt{3} +4 
                 \left[\arcsin(t)\right]_{-1/2}^{-1} \nonumber\\
            & = & 2\sqrt{3} - \frac{\pi}{6} \nonumber
\end{eqnarray}
dove (\ref{frm1}) \`e ottenuto per parti, da (\ref{frm2}) si 
passa a (\ref{frm3}) con la sostituzione $u=v+4$ e da 
(\ref{frm3}) si passa a (\ref{frm4}) con la sostituzione $v=4t$. 
\newpage
\begin{verbatim}
\begin{eqnarray*}
\dim_K(K[x_1, \dots x_n]_{\leq d}) 
                     & = & \dim_K\left(
                           \bigoplus_{\delta=0}^d 
                             K[x_1, \dots, x_n]_\delta \right) \\
                     & = & \sum_{\delta=0}^d \dim_K\left(
                              K[x_1, \dots, x_n]_\delta 
                           \right)\\
                     & = & \sum_{\delta=0}^d 
                             \left(
                                \begin{array}{c}
                                  n + \delta - 1 \\
                                  n - 1
                                \end{array}
                             \right)\\
                     & = & \left(
                             \begin{array}{c}
                             n+d \\
                             d
                             \end{array}
                           \right)
\end{eqnarray*}

\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip

\begin{eqnarray}
\int_0^2 \sqrt{\frac{8-u}{u}}\, du 
            & = & \left[u\sqrt{\frac{8-u}{u}}
               \right]_0^2 - \int_0^2 u \frac{-4}{u^2 \sqrt{%
                \displaystyle \frac{8-u}{u}}}\, du \label{frm1}\\
            & = & 2\sqrt{3} + 4\int_0^2 
                \frac{1}{\sqrt{u(8-u)}}\, du \label{frm2}\\
            & = & 2 \sqrt{3} + 4 \int_{-4}^{-2}\frac{1}{\sqrt{%
                 16-v^2}}\, dv  \label{frm3} \\
            & = &  2 \sqrt{3} +  \int_{-1}^{-1/2}
                 \frac{4}{\sqrt{1-t^2}}\, dt  \label{frm4} \\
            & = &  2 \sqrt{3} +4 
                 \left[\arcsin(t)\right]_{-1/2}^{-1} \nonumber\\
            & = & 2\sqrt{3} - \frac{\pi}{6} \nonumber
\end{eqnarray}
dove (\ref{frm1}) \`e ottenuto per parti, da (\ref{frm2}) si 
passa a (\ref{frm3}) con la sostituzione $u=v+4$ e da 
(\ref{frm3}) si passa a (\ref{frm4}) con la sostituzione $v=4t$. 
\end{verbatim}

\newpage

\begin{eqnarray*}
10x+10x+10x+10x & = & \\
   & &   x + x + x + x + x + x + x + x + x + x\\
   & & + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x\\
   & & + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x\\
   & & \mbox{} + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
\end{eqnarray*}

Si noti l'uso di 
\verb+\mbox{}+ nell'ultima riga, che trasforma l'operatore 
$+$ unario nell'operatore $+$ binario.

Un modo migliore per scrivere la stessa formula:
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{10x+10x+10x+10x =} & & \\
   & & x + x + x + x + x + x + x + x + x + x\\
   & & \mbox{} + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x\\
   & & \mbox{} + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x\\
   & & \mbox{} + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
\end{eqnarray*}
La direttiva \verb+\lefteqn{formula}+ in generale 
scrive una formula ma non le 
fa occupare spazio. Esempio: la formula inserita in 
\verb+\lefteqn+ comincia alla punta della freccia orientata 
verso destra $\rightarrow\lefteqn{\raisebox{1ex}{FORMULA}}\leftarrow$ 
e finisce alla punta della freccia orientata verso sinistra. 
\newpage

\begin{verbatim}
\begin{eqnarray*}
10x+10x+10x+10x & = & \\
   & &   x + x + x + x + x + x + x + x + x + x\\
   & & + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x\\
   & & + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x\\
   & & \mbox{} + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
\end{eqnarray*}

Si noti l'uso di 
\verb+\mbox{}+ nell'ultima riga, che trasforma l'operatore 
$+$ unario nell'operatore $+$ binario.

Un modo migliore per scrivere la stessa formula:
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{10x+10x+10x+10x =} & & \\
   & & x + x + x + x + x + x + x + x + x + x\\
   & & \mbox{} + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x\\
   & & \mbox{} + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x\\
   & & \mbox{} + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
\end{eqnarray*}
La direttiva \verb+\lefteqn{formula}+ in generale 
scrive una formula ma non le 
fa occupare spazio. Esempio: la formula inserita in 
\verb+\lefteqn+ comincia alla punta della freccia orientata 
verso destra 
$\rightarrow\lefteqn{\raisebox{1ex}{FORMULA}}\leftarrow$ 
e finisce alla punta della freccia orientata verso sinistra. 
\end{verbatim}
\newpage

\section{Oggetti sovrapposti}

Alcune lettere ed espressioni con vari accenti nelle formule:
\[
\hat{a}, \quad \bar{a}, \quad \vec{a}, \quad \dot{a}, 
\quad \ddot{a}; \qquad \widehat{x+y} = \widehat{z}.
\]
Altri esempi:
\[
R \stackrel{\pi}{\longrightarrow} R/I, 
\quad \dot{x} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \frac{dx}{dt}
\] 
\begin{eqnarray*}
0 = \overline{0} & = & \overline{a_0+a_1x+ \cdots + a_nx^n}\\
  & = & \overline{a_0}+\overline{a_1x}+ \cdots + 
                 \overline{a_nx_n}\\
  & = & a_0+a_1\overline{x} + \cdots + a_n \overline{x}^n
\end{eqnarray*}
\[
\underbrace{x_1+x_2+
              \overbrace{x_3+ \cdots +x_{n-1}}^{3}+x_n}_{10}
\]
\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip
\[
0 
\longrightarrow \bigoplus_{d\in \mathbb Z} P(-d)^{\beta_{nd}}
\stackrel{\phi_n}{\longrightarrow} \cdots 
\stackrel{\phi_2}{\longrightarrow} 
              \bigoplus_{d\in \mathbb Z}P(-d)^{\beta_{1d}}
\stackrel{\phi_1}{\longrightarrow} 
              \bigoplus_{d\in \mathbb Z}P(-d)^{\beta_{0d}}
\stackrel{\phi_0}{\longrightarrow} M \longrightarrow 
0
\]
\newpage
\begin{verbatim}
Alcune lettere ed espressioni con vari accenti nelle formule:
\[
\hat{a}, \quad \bar{a}, \quad \vec{a}, \quad \dot{a}, 
\quad \ddot{a}; \qquad \widehat{x+y} = \widehat{z}.
\]
Altri esempi:
\[
R \stackrel{\pi}{\longrightarrow} R/I, 
\quad \dot{x} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \frac{dx}{dt}
\] 
\begin{eqnarray*}
0 = \overline{0} & = & \overline{a_0+a_1x+ \cdots + a_nx^n}\\
  & = & \overline{a_0}+\overline{a_1x}+ \cdots + 
                 \overline{a_nx_n}\\
  & = & a_0+a_1\overline{x} + \cdots + a_n \overline{x}^n
\end{eqnarray*}
\[
\underbrace{x_1+x_2+
             \overbrace{x_3+ \cdots +x_{n-1}}^{3}+x_n}_{10}
\]
\smallskip \noindent
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\smallskip
\[
0 
\longrightarrow \bigoplus_{d\in \mathbb Z} P(-d)^{\beta_{nd}}
\stackrel{\phi_n}{\longrightarrow} \cdots 
\stackrel{\phi_2}{\longrightarrow} 
              \bigoplus_{d\in \mathbb Z}P(-d)^{\beta_{1d}}
\stackrel{\phi_1}{\longrightarrow} 
              \bigoplus_{d\in \mathbb Z}P(-d)^{\beta_{0d}}
\stackrel{\phi_0}{\longrightarrow} M \longrightarrow 
0
\]
\end{verbatim}

\newpage

\section{Spaziature e  tipi di stili}

Alcune spaziature in modalit\`a matematica:
\[
x x, \quad x\, x, \quad x\: x, \quad x\; x, \quad x\ x, 
\quad x\! x, \quad x\!\! x
\]
Esempi:
\begin{eqnarray*}
\sqrt{2}x& \mathrm{oppure}& \sqrt{2}\, x\mathrm{?} \\
x/\sin(x)& \mathrm{oppure}& x/\!\sin(x)\mathrm{?} \\
\int\int xy\, dx\, dy & \mathrm{oppure}&\int\!\!\!\int 
           xy\, dx\, dy\mathrm{?} 
\end{eqnarray*}
Si noti la direttiva \verb+\mathrm{...}+ per scrivere testo 
in modalit\`a matematica. Ulteriore esempio: \\
Sia
\[
X := \left\{
x \in \mathbb N \ \mid \ x \geq 5 \ \mathrm{e\ inoltre}\ x \ \mathrm{pari}
\right\}
\]
In alternativa si poteva usare una \verb+\mbox{...}+:
\[
X := \left\{
x \in \mathbb N \ \mid \ x \geq 5 \ \mbox{e inoltre}\ x \ \mbox{pari}
\right\}
\]
In questo caso si poteva usare un'unica \verb+\mbox+:
\[
X := \left\{
x \in \mathbb N \ \mid \ x \geq 5 \ \mbox{e inoltre $x$ pari}
\right\}
\]
Quest'ultima soluzione \`e senz'altro pi\`u corretta, poich\'e 
\verb+\mathrm+ dovrebbe essere usato per scrivere simboli 
matematici in stile ``roman''.
\newpage

\begin{verbatim}
\section{Spaziature e  tipi di stili}

Alcune spaziature in modalit\`a matematica:
\[
x x, \quad x\, x, \quad x\: x, \quad x\; x, \quad x\ x,
\quad x\! x, \quad x\!\! x
\]
Esempi:
\begin{eqnarray*}
\sqrt{2}x& \mathrm{oppure}& \sqrt{2}\, x\mathrm{?} \\
x/\sin(x)& \mathrm{oppure}& x/\!\sin(x)\mathrm{?} \\
\int\int xy\, dx\, dy & \mathrm{oppure}&\int\!\!\!\int 
           xy\, dx\, dy\mathrm{?} 
\end{eqnarray*}
Si noti la direttiva \verb+\mathrm{...}+ per scrivere testo 
in modalit\`a matematica. Ulteriore esempio: \\
Sia
\[
X := \left\{
x \in \mathbb N \ \mid \ x \geq 5 \ \mathrm{e\ inoltre}\ 
        x \ \mathrm{pari}
\right\}
\]
In alternativa si poteva usare una \verb+\mbox{...}+:
\[
X := \left\{
x \in \mathbb N \ \mid \ x \geq 5 \ \mbox{e inoltre}\ 
               x \ \mbox{pari}
\right\}
\]
In questo caso si poteva usare un'unica \verb+\mbox+:
\[
X := \left\{
x \in \mathbb N \ \mid \ x \geq 5 \ \mbox{e inoltre $x$ pari}
\right\}
\]
Quest'ultima soluzione \`e senz'altro pi\`u corretta, poich\'e 
\verb+\mathrm+ dovrebbe essere usato per scrivere simboli 
matematici in stile ``roman''.
\end{verbatim}
\newpage


Altri stili in modalit\`a matematica, oltre al \verb+\mathrm{}+:
\[
\begin{array}{c}
\mathcal{A}, \quad \mathcal{B}, \quad \dots \quad \mathcal{Z}\\
\mathbf{a}, \quad \mathbf{b}, \quad \dots \quad \mathbf{z}\\
\mathbf{A}, \quad \mathbf{B}, \quad \dots \quad \mathbf{Z}\\
\mathsf{a}, \quad \mathsf{b}, \quad \dots \quad \mathsf{z}\\
\mathsf{A}, \quad \mathsf{B}, \quad \dots \quad \mathsf{Z}\\
\mathit{a}, \quad \mathit{b}, \quad \dots \quad \mathit{z}\\
\mathit{A}, \quad \mathit{B}, \quad \dots \quad \mathit{Z}\\
\mathbb{A}, \quad \mathbb{B}, \quad \dots \quad \mathbb{Z}
\end{array}
\] 
(per l'ultimo stile \`e necessario importare il pacchetto 
\verb+amssymb+).

\LaTeX\ usa 4 stili in modalit\`a matematica: 
\begin{description}
\item[display] Per i simboli normali nelle 
     formule in ambiente \verb+displaymath+
\item[text] Per i simboli normali nelle formule in 
           ambiente \verb+math+
\item[script] Per pedici e apici
\item[spriptscript] per pedici di pedici, apici di apici ecc.
\end{description}
Si posono forzare gli stili con opportune direttive.

\noindent
Esempi: 
\[
{\displaystyle \int\sin(x)\, dx} \quad {\textstyle \int\sin(x)\, dx}
\quad {\scriptstyle \int\sin(x)\, dx} \quad 
{\scriptscriptstyle \int\sin(x)\, dx}
\]
\[
1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}
\]
\[
1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+%
{\displaystyle \frac{1}{1+\cdots}}}}}}
\]
\newpage

\begin{verbatim}
Altri stili in modalit\`a matematica, oltre al \verb+\mathrm{}+:
\[
\begin{array}{c}
\mathcal{A}, \quad \mathcal{B}, \quad \dots \quad \mathcal{Z}\\
\mathbf{a}, \quad \mathbf{b}, \quad \dots \quad \mathbf{z}\\
\mathbf{A}, \quad \mathbf{B}, \quad \dots \quad \mathbf{Z}\\
\mathsf{a}, \quad \mathsf{b}, \quad \dots \quad \mathsf{z}\\
\mathsf{A}, \quad \mathsf{B}, \quad \dots \quad \mathsf{Z}\\
\mathit{a}, \quad \mathit{b}, \quad \dots \quad \mathit{z}\\
\mathit{A}, \quad \mathit{B}, \quad \dots \quad \mathit{Z}\\
\mathbb{A}, \quad \mathbb{B}, \quad \dots \quad \mathbb{Z}
\end{array}
\] 
(per l'ultimo stile \`e necessario importare il pacchetto 
\verb+ammsymb+).

\LaTeX\ usa 4 stili in modalit\`a matematica: 
\begin{description}
\item[display] Per i simboli normali nelle 
     formule in ambiente \verb+displaymath+
\item[text] Per i simboli normali nelle formule in 
           ambiente \verb+math+
\item[script] Per pedici e apici
\item[spriptscript] per pedici di pedici, apici di apici ecc.
\end{description}
Si posono forzare gli stili con opportune direttive.

\noindent
Esempi: 
\[
{\displaystyle \int\sin(x)\, dx} \quad 
{\textstyle \int\sin(x)\, dx}
\quad {\scriptstyle \int\sin(x)\, dx} \quad 
{\scriptscriptstyle \int\sin(x)\, dx}
\]
\[
1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}
\]
\[
1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+%
{\displaystyle \frac{1}{1+\cdots}}}}}}
\]
\end{verbatim}
\newpage

\section{L'ambiente \texttt{tabular}}
L'ambiente \verb+tabular+ \`e del tutto simile all'ambiente 
\verb+array+, solo che pu\`o essere usato in qualunque 
modalit\`a, non solo in modalit\`a matematica e gli elementi 
di un array sono processati in modalit\`a LR. 

\medskip

\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
Nome & Cognome & voto \\ \hline
Carlo & Rossi & 25 \\
Bruno & Bianchi & 30 \\
      & Who   & 27  \\
Clemente & Mastella & 3 \\ 
Luca & Cordero di Montezemolo & 6 \\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

\begin{tabular}{|l|l|c|} \hline
Nome & Cognome & voto \\ \hline \hline
Carlo & Rossi & 25 \\
Bruno & Bianchi & 30 \\
      & Who   & 27  \\
Clemente & Mastella & 3 \\ 
Luca & Cordero di Montezemolo & 6 \\ \hline
\end{tabular}

\bigskip
\begin{tabular}{|l|l|c|} \hline
\multicolumn{1}{|c}{Nome} & \multicolumn{1}{c}{Cognome} 
                            & voto \\ \hline \hline
Carlo & Rossi & 25 \\
Bruno & Bianchi & 30 \\
      & Who   & 27  \\
Clemente & Mastella & 3 \\ 
Luca & Cordero di Montezemolo & 6 \\ \hline
\end{tabular}

\newpage
\begin{verbatim}
\section{L'ambiente \texttt{tabular}}
L'ambiente \verb+tabular+ \`e del tutto simile all'ambiente 
\verb+array+, solo che pu\`o essere usato in qualunque 
modalit\`a, non solo in modalit\`a matematica e gli elementi 
di un array sono processati in modalit\`a LR. 

\medskip

\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
Nome & Cognome & voto \\ \hline
Carlo & Rossi & 25 \\
Bruno & Bianchi & 30 \\
      & Who   & 27  \\
Clemente & Mastella & 3 \\ 
Luca & Cordero di Montezemolo & 6 \\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

\begin{tabular}{|l|l|c|} \hline
Nome & Cognome & voto \\ \hline \hline
Carlo & Rossi & 25 \\
Bruno & Bianchi & 30 \\
      & Who   & 27  \\
Clemente & Mastella & 3 \\ 
Luca & Cordero di Montezemolo & 6 \\ \hline
\end{tabular}

\bigskip
\begin{tabular}{|l|l|c|} \hline
\multicolumn{1}{|c}{Nome} & \multicolumn{1}{c}{Cognome} 
                            & voto \\ \hline \hline
Carlo & Rossi & 25 \\
Bruno & Bianchi & 30 \\
      & Who   & 27  \\
Clemente & Mastella & 3 \\ 
Luca & Cordero di Montezemolo & 6 \\ \hline
\end{tabular}
\end{verbatim}

\newpage
\noindent Altri esempi.

\medskip
\begin{tabular}{|ll|ll|} \hline
\multicolumn{2}{|c|}{Prodotto} & 
                      \multicolumn{2}{c|}{Prezzo} \\ \hline
Carciofo & (pezzo) & 7 \texteuro  & 8 \$  \\
Pane & (chilo) &    15 \texteuro  & 20 \$ \\
Petrolio & (gallone) & 3000 \texteuro  & 5000 \$ \\ 
Ansiolitico & (1000 pastiglie) & 3 \textcent\ (euro) 
          & 5 \textcent\ (dollaro) \\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

\begin{tabular}{|c|c||c|c|} \hline
simbolo & comando & simbolo & comando \\ \hline
$ \sum\quad {\displaystyle \sum}$ & \verb+\sum+ 
    & $\prod \quad{\displaystyle \prod}$ & \verb+\prod+ \\
$ \coprod\quad {\displaystyle \coprod}$ & \verb+\coprod+ 
    & $ \int\quad{\displaystyle \int}$ & \verb+\int+ \\
$ \oint\quad {\displaystyle \oint}$ & \verb+\oint+ 
    & $\bigcap \quad{\displaystyle \bigcap}$ & \verb+\bigcap+ \\
$ \bigcup\quad {\displaystyle \bigcup}$ & \verb+\bigcup+ 
    & $\bigvee \quad{\displaystyle \bigvee}$ & 
                                      \verb+\bigvee+ \\
$ \bigwedge\quad {\displaystyle \bigwedge}$ & 
                                      \verb+\bigwedge+ 
    & $ \bigotimes\quad{\displaystyle \bigotimes}$ & 
                                      \verb+\bigotimes+ \\
$ \bigoplus\quad {\displaystyle \bigoplus}$ & 
                                      \verb+\bigoplus+ 
    & $ \bigodot\quad{\displaystyle \bigodot}$ & 
                                      \verb+\bigodot+ \\ \hline
\end{tabular}
\newpage

\begin{verbatim}
\noindent Altri esempi.

\medskip
\begin{tabular}{|ll|ll|} \hline
\multicolumn{2}{|c|}{Prodotto} & 
                      \multicolumn{2}{c|}{Prezzo} \\ \hline
Carciofo & (pezzo) & 7 \texteuro  & 8 \$  \\
Pane & (chilo) &    15 \texteuro  & 20 \$ \\
Petrolio & (gallone) & 3000 \texteuro  & 5000 \$ \\ 
Ansiolitico & (1000 pastiglie) & 3 \textcent\ (euro) 
          & 5 \textcent\ (dollaro) \\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

\begin{tabular}{|c|c||c|c|} \hline
simbolo & comando & simbolo & comando \\ \hline
$ \sum\quad {\displaystyle \sum}$ & \verb+\sum+ 
    & $\prod \quad{\displaystyle \prod}$ & \verb+\prod+ \\
$ \coprod\quad {\displaystyle \coprod}$ & \verb+\coprod+ 
    & $ \int\quad{\displaystyle \int}$ & \verb+\int+ \\
$ \oint\quad {\displaystyle \oint}$ & \verb+\oint+ 
    & $\bigcap \quad{\displaystyle \bigcap}$ & \verb+\bigcap+ \\
$ \bigcup\quad {\displaystyle \bigcup}$ & \verb+\bigcup+ 
    & $\bigvee \quad{\displaystyle \bigvee}$ & 
                                      \verb+\bigvee+ \\
$ \bigwedge\quad {\displaystyle \bigwedge}$ & 
                                      \verb+\bigwedge+ 
    & $ \bigotimes\quad{\displaystyle \bigotimes}$ & 
                                      \verb+\bigotimes+ \\
$ \bigoplus\quad {\displaystyle \bigoplus}$ & 
                                      \verb+\bigolpuse+ 
    & $ \bigodot\quad{\displaystyle \bigodot}$ & 
                                      \verb+\bigodot+ \\ \hline
\end{tabular}
\end{verbatim}



\end{document}