Università degli Studi di
Trieste
Corso di Studi in Fisica
Anno accademico 2022/2023
Programma del corso di
Analisi Matematica I
tenuto dal Prof. Alessandro Fonda
1.
Insiemi numerici
I numeri naturali e il principio di
induzione. La formula del binomio di Newton. L'insieme R dei numeri
reali. Estremo superiore e inferiore. La radice quadrata. Densità dei
razionali e degli irrazionali. Teorema di Cantor sulle successioni di
intervalli inscatolati. Primo teorema di Bolzano-Weierstrass. Il campo
dei numeri complessi. Lo spazio R^N : prodotto scalare, norma, distanza.
2. Funzioni continue e limiti tra spazi metrici
Spazi metrici: intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi. Interno e
chiusura di un insieme. Continuità di funzioni tra spazi metrici, e in
particolare delle funzioni di R^N in R^M. Somma, differenza, prodotto,
quoziente, composizione di funzioni continue. Il teorema degli zeri.
Esponenziale e logaritmo. Continuità della funzione inversa. Le funzioni
trigonometriche. Punti di accumulazione. Limite di una funzione tra
spazi metrici. Operazioni con i limiti. Formula di cambiamento di
variabile. Teorema dei due carabinieri. Limiti delle restrizioni: limite
destro e sinistro. Funzioni monotone. La retta ampliata e sue proprietà
relative ai limiti. Limiti di successioni. Il numero di Nepero e il
numero "pi greco". Limiti notevoli per l'esponenziale, il logaritmo e le
funzioni trigonometriche. Secondo teorema di Bolzano-Weierstrass.
Compattezza, massimi e minimi: il teorema di Weierstrass.
Completezza, teorema di Heine.
3. Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile
reale
La derivata come limite del rapporto incrementale. Derivate successive.
Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente, funzioni composte,
inverse. Teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy. Regole di de
l'Hopital. Caratterizzazione delle funzioni derivabili monotone.
Funzioni convesse e concave. Studi di funzione. Formula di Taylor con
resto di Lagrange. Cenni sulle funzioni analitiche e la funzione
esponenziale complessa.
4. Calcolo Integrale per
funzioni reali di una variabile reale
Somme inferiori e superiori. Funzioni integrabili secondo Riemann.
Proprietà elementari dell’integrale. Integrabilità delle funzioni
continue. Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo.
Integrazione per sostituzione e per parti.
TESTI CONSIGLIATI:
1. M. Dolcher: "Elementi di analisi matematica", Ed. Lint, Trieste, 1991 (due volumi).
2. E. Giusti, "Analisi matematica", Ed. Bollati Boringhieri, Torino, 1988.
3. C. Pagani e S. Salsa, "Analisi matematica", Ed. Masson, Milano, 1993.
4. G. Prodi, "Analisi matematica", Ed. Bollati Boringhieri, Torino, 1970.
5. W. Rudin, "Principi di analisi matematica", Ed. MacGraw-Hill, Milano, 1990.